いろんなものはつながっている

変数分離型の解き方だけ勉強すればよい

流体力学を少し勉強する必要にせまられた話の続き。

自然や社会の現象を数式で表現しようとした場合、ざっくりいって

微小な世界で考える

微分方程式をたてる

境界条件をさだめる

微分方程式をとく

といった流れに帰着される。

ビブン方程式、、大学のときやったんだよな。どの授業でやったんだろうか、それすら覚えていない。教科書はいくつか家にある。読んだ形跡もある。

復習しようとぱらぱらと直観でわかる数学をよみなおしてみると、なかなか優しい言葉がかいてある

微分方程式に関しては、全部が全部、解く必要がない。変数分離型に持ち込めない微分方程式は解くな。裏を返して言えば、変数分離型の解き方だけ勉強すればよい

微分方程式の細かな解法を覚えることなどたいした意味をもたなくなる。むしろどんな数値計算法を使ってコンピュータに解かせるかということに頭を使うほうが、はるかに重要になってくる。

自然や社会の現象・出来事は、指数関数y=Ce^kxを解とする微分方程式で記述されることが多い。そういう普遍的な解を導きだすのが、変数分離型なのである。

確かに、変数分離以外、ものすごく技巧的な感じがしたことは確か。もちろん、それらの技巧の背後にはロジックがあるのだろうがそこまで自分は理解できるにいたらなかった。

変数分離のかたち

変数分離の問題をいくつか解いてみる。まずは変数分離の基本形、
微分方程式1

また、以下のように一見変数分離できないような微分方程式も、変数の置き換えで変数分離にもっていける。
微分方程式2

線形、同次、係数が定数の微分方程式

また、以下のような線形、同次、係数が定数である微分方程式は
微分方程式3-1
y = e^λxを微分方程式に代入してλの代数方程式にしてλについて解いた値から微分方程式の解を
微分方程式3-2
とかける。

これは、e^xは微分演算子の固有ベクトルだから、線形、同次、係数が定数であれば微分演算子を以下のように代数方程式にできることに起因するのかな。ラプラス変換で微分方程式を解くのも同じ仕組みだよね。

微分方程式4

畑村先生の言葉に従い、とりあえずこれくらいでよしとしよう。

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