いろんなものはつながっている

出発点はフーリエ級数

フーリエ変換まわり、何度よんでもわかったような、わからないような状態が続いていたので、ここを再度、読み直すことにした。

出発点はフーリエ級数

フーリエ変換、フーリエ級数、離散、周期性とか、いろいろな定義がでてきて、こんがらがってしまっていが、今回、このサイトを読み直して、

出発点は「フーリエ級数」であることを意識するとすっきりした。

フーリエ級数:
周期的な関数を、周期を基準周波数とした、基準周波数の整数倍の周期の三角関数の重ね合わせで表せる

フーリエ級数

考える範囲も周期の範囲。0からTもしくは-T/2から-T/2となる。

この定義から、周期的関数をフーリエ変換した結果は離散的であることはイメージできる。

なぜならば、関数が、周期の逆数で規定される基準周波数の整数倍の周波数をもつ関数の重ね合わせで表現されているから。離散の間隔は2π/Tとなる。

フーリエ級数のフーリエ変換:
フーリエ級数_フーリエ変換

周期を大きくする

上記の定義で、では周期Tをどんどん大きくしていったらどうだろうか、と考えるのは自然なことだ。

周期をどんどん長くしていくと、基準周波数はどんどん小さくなる。したがって、フーリエ変換後の周波数領域では離散的であったグラフが離散の間隔が小さくなり、どんどん連続に近づいていくのも、すんなり想像できる。

実際に周期Tを無限大にしてみる。

よくあるように、シグマをインテグラルにするため、いろいろ式変形をすることで、フーリエ級数がフーリエ変換となる。

周期無限_フーリエ変換

その際、和の(積分の)範囲がマイナス無限大から無限大となっている。

式変形はp.34あたりから説明してある。

時間を離散化してみる

現実に何かを計測しデータを収集する際は、一定間隔ごとの値を計測する(サンプリング)ことになる。

では、時間を離散化した場合、フーリエ級数はどようになるだろうか。

まず、離散時間信号を扱うときは,時間を整数で,つまり正規化時間で考えて,角周波数も正規化角周波数で考えることになる。

サンプリング周期をTsとすると、フーリエ級数の取りえる値は
…. f(-2Ts), f(-Ts), f(0), f(Ts), f(2Ts), f(3Ts) ….
となる。

Tsを導入したので、角周波数もそれにあわせて変形してやると、

式2

時間を離散化し、サンプリング周期Tsを導入することで、1秒間ではなく、1サンプルあたり、何rad位相が進むかは、(2π/T) x Ts であらわされる。つまり、これが正規化された角周波数ωkとなる。

正規化された時間、各周波数には以下の性質がある。
必ずしも周期的ではない
ωk・T = 2πとなるTが周期となるのだが、離散化されているのでTが整数に制限されたおり、ωk・N= 2πとなる整数Nが存在するωkの場合のみ周期的になる。

各周波数が2π増やすと元に戻る
(ωk+2π)・N=ωk・Nであるので、各周波数を2π増やすと元に戻る。これにより、ωkとしてとれる範囲は角周波数は-π~πとなる。つまり、時間を離散化した場合、周波数領域ては周期的になることがわかる。

離散時間フーリエ変換

離散時間信号をそのままフーリエ変換すると
離散フーリエ変換_連続

これでは、積分値が0になってしまうので、フーリエ変換の積分の時間も離散化しインテグラルをシグマに変えてやる。

離散時間フーリエ変換

離散フーリエ変換

コンピュータで計算できるようにするため、時間だけでなく周波数も離散化する必要がある。

周波数を離散化するということは、時間領域で周期的になっている必要がある。

つまり時間も周波数も、離散的でかつ周期的という場合を考える。

フーリエ級数を考えてみる。

フーリエ級数は周波数は離散的で時間は連続なので、時間、周波数を離散化するということは、フーリエ級数で時間を離散化すると考えることもできる。

サンプリング周期をTs、時間領域での周期ToとするとTo/Ts(=N)は、時間領域での周期のうちサンプル数を何点とるかを表す。

時間領域で 1 周期あたりN点からなる離散時間信号は,周波数領域でも 1周期あたりN点の離散周波数スペクトルになる

離散化

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