いろんなものはつながっている

物理数学の直感的方法 テイラー展開

テイラー展開の解釈もわかっているようでたぶんわかっていないんだろうと思う。
f(x+h) = f(x) + h f'(x) で近似することはさすがにわかる。問題はその後続いている項の解釈。確かこの本ではf'(x)やf”(x)の量を面積の短冊で表現して、f”(x)の量をf’(x)に短冊を積み上げてその面積で説明したと思う。それをトレースしようとするが、、悲しいほどわかっていないことが露呈する。自分の解釈ではf(x) = f(x) + f'(x)h + f'(x)hになってしまう。
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ざっと本を読んでみるとこんな図で説明してあり、

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自分の図と大きな違いはない。(が間違っていることはあとから理解した)

この面積の短冊で考えるはやめてもっと泥臭く自分になり解釈してみる。結局のところf(x)とf(x+h)の「差」をどうにかしてうめるということで、まずは増減を1次(直線)で表現して「差」をもとめたのがf'(x)なわけだ。階数をもう一段あげて、f”(x)はなにかというとf'(x)の増減分。したがって、xからx+hの間でf'(x)は一定として計算したものに、f'(x+a) = f'(x) + f”(x) * aの関係を加えてあげれば精度はあがると思われる。

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そこで、増減は1次(直線)とみなしたままで、増減分をf”(x)をつかって補正してみる。x~x+hの真ん中である地点(x+h/2)での増減分(傾き)の値はf'(x) + h/2 * f”(x)と表現できるので、この増減(傾き)をつかってf(x+h)を計算してみると、
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となりテイラー展開の式となる。
同様の考え方をf”(x)にも適応し、(x+h/3)の地点でのf”(x)を使ってf(x+h)を表現してみると
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となり機械的にテイラー展開の式が出現する。式はでてきたがこの解釈はあってるのか?

最初の自分の解釈は、f”(x)を導入したのにそれをf'(x)の増減量に反映してなかったからおかしかったわけだ。

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