いろんなものはつながっている

物理数学の直感的な方法 複素関数・複素積分

そも複素数というものは実数と虚数の2つの軸を導入して、2つの成分をベクトルのように1つで表現しているんだろう。その2つの軸の関係は、1 x i x i x i x i = 1 とiを4回かけて1にもどることから、90度ずれていると解釈することもできる。よくみるXY軸の関係も90度ずれている関係ともいえるからますますよく似ている。では、ベクトルとどこが違うのか。
複素数1
複素数では、加算はベクトルの合成、積はベクトルの回転にあたる。加算はXY軸のベクトル表現に通じるものがあるが、回転はうまく対応しない。ベクトルの積など別途定義してあげれば複素数平面と同等の演算が可能となる。

では複素数のそんな性質は何に都合がいいのか。加減算はベクトルの合成、除積算は回転という演算は正弦波の演算に都合がいい。加減算、除積算が波の位相の変化につながるのでその演算とマッチする。

複素数2

また複素関数というのは2次元から2次元への変換といえるだろう。
複素数3

R-I空間になれるために上記の枠組みでy=f(x)を表現してみる。xが0から1まで動くのは、左側のインプットの空間のR軸上を0から右へ動くことに対応する。アウトプットは、右側のアウトプット空間のR軸上をうろうろ動くことに対応する。したがって、アウトプット空間のR軸を90度回転してインプット空間のR軸と対応づけるとみなれた表現になる。

複素数4

f(z)を積分するさまを本の表記で表現するとインプット空間で表現されたパスにそって、アウトプットの値を回転させている。

複素数5

このことは、下記のような置換積分の内容を図示しているといえないだろうか。

複素数6

これらを踏まえて複素積分のことをみてみる。
本では冒頭に、複素積分は1つ驚異的な性質をもっていると説明がある。それは、「関数f(z)から定まる「特異点」というものがあり、積分経路がその特異点を内側に取り込んでいる閉曲線である限り、積分路の形がどうんなふうであっても積分値はかわらず、その値は特異点だけから決まる。」というもの。またさらに、
「関数f(z)をテイラー展開の拡張版のようなローラン展開したものとしたとき、なんと、1/z以外の項はゼロになってしまう」
したがって、おおざっぱにいうと、複素積分を行う場合、対象の関数をローラン展開し、1/zの項を抽出し、それにのみ注目すればよい、ということになる。

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