いろんなものはつながっている

物理数学の直感的方法 ε-δ論法と位相空間

物理では何かと何かが同じだとか似ているという話が多くでてくるので、「似ている」を定量的に評価するため「距離」が定義される場面にしばしば遭遇する。

あるものが等しいというとき、つまり距離がゼロというときには、不等式で両側をおさえて、n→∞にとばして、、うんぬんという話がよくでてきたような。字づらをおっていただけで、まあ、全く理解できていなかったな。連続性のはなしから始まり、コンパクトとか、完備とか、そりゃ全然わからなかった。

この章を読んで、そんないろいろな概念も、なんとか解の性質を得ようとするための道具なんだ、ぐらいには理解した。

さて、章の冒頭に
「解けない方程式が多いので、その方程式に解があるかどうか、あるいはその解がどのような性質を持つかを調べる、という目的の変更にともない新しい道具がでてきた」
とある。新しい道具の筆頭が不等式で、例えば

a = b

を直接いえなときに

|a – b| < cn cn→0

で a = b をいうように使う。

もっというとaとかbを直接、これ、といえることは少ないのでan→aとなるような点列{an}を考えて、|an – b| < cnを満たすようにcn→0にもっていければa = bがいえたことになる、という算段だ。

また、この章の中盤で
「とにかく現代数学は、この有限と無限の間で生じるギャップを埋めるためにほとんどの手間を費やしているといっても過言ではない」
といっている。

ここではコンパクトが紹介されている。むかし何度もみた言葉だけど何一つ頭に残っていない。コンパクトは有限と無限の間のギャップをうめるために作られた概念のひとつとある。ようは、ある区間を「有限個」の区間で覆えるか否かに興味あるということ。覆うことができれば最大や最小を議論するのに、「有限個」の区間を対象にすればいい。対象が有限個であればその中から最大または最小のものをピックアップすることができ、それのみを対象に議論を進めることができる。

続いてコーシー列。これも何度も聞いたことがあるがさっぱり覚えていない。|an – b| < cnをいうとき、{an}がbに収束することがわかっていれば|an – b| という記述に問題はないが、どこに収束するのかわからない場合も多い。その場合、|an – am| = 0 という記述がなりたてば、どこに収束するかわからないけど、どこかに収束するわけだから、とりあえず話を進めようということみたいだ。例えば、nをとめたまま、m→∞として話をすすめるとか。|an – am| = 0 (n→∞)が成り立つ数列をコーシー数列という。

ここで一つ問題があって、n→∞としたときにanが{an}の仲間でなくなる場合があるときは、|an – am| = 0がなりたったとしても、収束先が{an}の仲間でない可能性があるので、収束先が{an}であるか別途調べないといけない。そこで収束先が{an}におさまることを保証するような概念が完備だそうな。

さて、自分が理解できる範囲でこれらの理論が適応できるのはどんな場面だろうか。

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