いろんなものはつながっている

唐突にでてきたラグランジアン

流体力学を少し勉強する必要にせまられた。

さて、どうしようと考えたところ、そういえばyoutubeにある慶応大学の数理物理の講義が偏微分の学習の題材に流体力学を使っているのを思い出し、これはちょうどいいと思って見始めた。

見始めてみると、まずオイラー座標、ラグランジェ座標という概念がでてきた。流体力学の世界では基礎の基礎の概念であるようだがラグランジュ座標の説明がいまいちよくわからない。背番号をつけてうんぬん、、という説明は一般的なのかな。検索すると同じ説明をみかける。

ここここをみると要は川の流れのなかでインクをたらしたらインクは川の流れにのって流れるし拡散もする。拡散の影響だけ見たい場合は、川の流れの影響による位置変動を含まない座標系でみたい。それがラグランジュ座標ってことなのかな?まずはそう思って進めることにしよう。

さて、ラグランジュと聞くと、大学入学直後、唐突に現れて大学生活の出鼻をくじいてくれたラグランジアンを思い出す。いきなりL=T-Uがでてきて、以後、Lを中心に話がすすんでいった。おそらく先生は説明してくれていたと思うがまったく話についていけてなかった。

流体力学の勉強を進めないといけないが、思い出したのを機にちょっと勉強してみようという気になった。そんなちょっと勉強というぐらいでわかるようになるとはもちろん考えていないが、少しでも理解できればいいなと思いここを読み進めることにした。

まず、こちらに解析力学とは何かというくだりがわかりやすく書いてあった。そうそう、こういうことをざっと説明してくれるのは本当に助かる。

引用させていただくと

解析力学は複雑な力学の問題を なるべく簡単に解けるようにするための方法論であるとも言えて、

ラグランジアンを導入

ルジャンドル変換と言う数学テクニックでハミルトン形式に変形。

正準変換で解き易い形に変形。

楽に解けました。めでたしめでたし。

という流れの計算テクニックを体系化したものだと思えばよい。

このサイトをを読むことで次のことがわかるようになれば御の字かな。

  • ラグランジアンを導入
    →なぜオイラー・ラグランジュの方程式なんてあんな形の式がひらめいたのか?
  • ルジャンドル変換
    →なぜそんな変換を導入したのかな?
  • 楽に解けました。めでたしめでたし。
    →具体的にはどんな場合かな?楽なの?

ラグランジアンを導入 なぜあんな式の形が思いついたのか?

一見きれいなのか、きれないではないのかよくわからない、ラグランジュ方程式

Lagrange

は脈略もなく誰かがひらめいたものではなく、変分原理からわりあい自然に導かれる。

さて、変分原理。覚えているのは、極値のあたりではちょっと動かしても値は変わらないはずだから、、という呪文のような文言のみ。ラグラジアンは変分原理から導かれますよといわれても自分にはできない。引き続き説明を読んでいった。

ベルヌーイが提唱した最速降下線問題を変分原理を用いてとくことでラグランジアンのヒントが得られるということ。最速降下線問題とは、「ボールがある点 A からスタートして 滑らかな斜面を転がり落ちるとき、最短時間で別の点 B まで たどりつくにはどんな斜面にしたらよいか?」という問題。Lagrange1

とき方の方針は
1.点Aから点Bまでの到達時間を斜面の関数f(x)であわらわす。
2.最短時間のときの斜面から少し斜面の形がかわっても到達時間の変化はゼロのはず。
3.だから斜面の形をちょっと動かしたときの到達時間変化をあらわしそれが0になるような条件もとめ、そこから斜面を求める。

まず、到達時間を斜面の関数で表すと、
Lagrange2

斜面をちょっと動かしたときの差はテイラー展開して
Lagrange3
となる。したがって斜面をちょっと時間を動かしたときの時間の変化は
Lagrange4
となる。

なるほど、あとはなんとかδfでまとめてやれば、δtとδfの関係がでてきそうだ。δfでまとめるにはδf’が邪魔。これは部分積分をつかうことでうまいこと消せる。そうすると、
Lagrange5
こんなラグランジュ方程式とほぼ同じ式が出現する。なるほど。(こちらで丁寧に説明されている)

ルジャンドル変換 なぜそんな変換をしたのか

ルシャンドル変換の目的とは、例えばある関数fを変換して
Lagrange6
といった対称的な関係式を得ること。なかなか作為的である。

上記の変換をふまえてラグランジアンLをルシャンドル変換してハミルトニアンHを得て、ぐいぐいと式変形すると
Lagrange7

といったハミルトンの正準方程式というものが得られる。

とても作為的にみえる。この形にするといろんなことがすっきり説明できたということなのだろうか。すっきり説明できるというはそこに真理が隠されているのではということなんだろうけど、とりあえずはその形式にするとなんかいろいろ便利だったという理解にしておいて便利さになれたいと思う。

正準変換はどう便利なのか?

うーん、残念ながら読んでも理解できなかった。また後日みることにしよう。

関連記事

コメント

  1. この記事へのコメントはありません。

  1. この記事へのトラックバックはありません。

スポンサード リンク

カテゴリー

スポンサード リンク